Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180 βαθμούς. Βουτυρώνουμε ελαφρώς μια στρογγυλή φόρμα του κέικ διαμέτρου 24εκ. ή ένα τετράγωνο ταψάκι 19εκ. Στρώνουμε με χαρτί ψησίματος τη βάση και τις πλευρές του σκεύους, φροντίζοντας αυτό να εξέχει προς τα πάνω κατά 2εκ. Ανακατεύουμε σε ένα μπολ τη ζάχαρη, το αλεύρι, την καρύδα και το ξύσμα. Ενσωματώνουμε το λιωμένο βούτυρο. Αναμειγνύουμε τα αυγά με το γάλα και τα ρίχνουμε στο μπολ. Ανακατεύουμε έως ότου το μείγμα γίνει λείο. Μεταφέρουμε το μείγμα στο σκεύος που έχουμε ετοιμάσει και ψήνουμε στο φούρνο για 1 ώρα ή έως ότου το μαχαίρι που θα βάλουμε στο κέντρο του γλυκού να βγαίνει εντελώς καθαρό. Αν η επιφάνεια αρχίζει να σκουραίνει προτού το κέικ ψηθεί στο εσωτερικό του, καλύπτουμε με αλουμινόχαρτο και συνεχίζουμε το ψήσιμο.

Βάζουμε τη ζάχαρη μαζί με 185ml νερό σε ένα κατσαρολάκι με βαρύ πάτο και το τοποθετούμε σε χαμηλή φωτιά. Ανακατεύουμε έως ότου η ζάχαρη λιώσει εντελώς. Προσθέτουμε τη φλούδα και το χυμό του λάιμ και σκεπάζουμε με το καπάκι. Μόλις το σιρόπι πάρει βράση, χαμηλώνουμε και άλλο τη φωτιά και σιγοβράζουμε για άλλα 8 λεπτά, αφήνοντας το κατσαρολάκι ξεσκέπαστο. Αποσύρουμε από τη φωτιά και σουρώνουμε το σιρόπι. Βγάζουμε το κέικ από το φούρνο και με ένα πιρούνι κάνουμε ομοιόμορφα μερικές τρύπες σε όλη την επιφάνειά του. Σιγά σιγά περιχύνουμε με το ζεστό σιρόπι. Το αφήνουμε να σταθεί για περίπου 20 λεπτά, έως ότου απορροφηθεί το σιρόπι. Βγάζουμε το κέικ από τη φόρμα ή το ταψί μαζί με το χαρτί ψησίματος και το αφήνουμε πάνω στη σχάρα να κρυώσει. Το κόβουμε σε κομμάτια και σερβίρουμε, συνοδεύοντας με φρουτοσαλάτα, αν θέλουμε.