Κοσκινίζουμε μαζί σε ένα μπολ το αλεύρι, τη σόδα, το μπέικιν πάουντερ και την κανέλα. Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 160 βαθμούς. Καλύπτουμε μια φόρμα με αποσπώμενα τοιχώματα διαμέτρου γύρω στα 24 εκατοστά με λαδόκολλα ( μόνο τον πάτο). Η φόρμα θα πρέπει να έχει τουλάχιστον ύψος 5 εκ.

Βάζουμε τα αυγά, τη ζάχαρη και το λάδι στον κάδο του μίξερ και το χτυπάμε με το σύρμα ελαφρώς, σε χαμηλή ταχύτητα, για να μην πιτσιλιστούμε, για περίπου 1 λεπτό. Προσθέτουμε σιγά σιγά το μείγμα με τα στερεά υλικά (αλεύρι κ.α.)  και συνεχίζουμε το ανακάτεμα σε χαμηλή ταχύτητα για 2 λεπτά ακόμα ή έως γίνει ένα ομοιογενές μείγμα. Σταματάμε το χτύπημα και ρίχνουμε το τριμμένο καρότο. Ανακατεύουμε με μια σπάτουλα έως ότου αναμειχθούν καλά τα υλικά και προσθέτουμε και τα καρύδια ανακατεύοντας ξανά.

Αδειάζουμε το μείγμα στη φόρμα και ψήνουμε για περίπου 45-50 λεπτά. Δοκιμάζουμε αν είναι έτοιμο βυθίζοντας ένα μαχαίρι στο κέντρο αν βγει το μαχαίρι χωρίς υπολείμματα ζύμης τότε το κέικ είναι ψημένο, αλλιώς ψήνουμε και άλλο.

Βγάζουμε το κέικ από το φούρνο και αφήνουμε να κρυώσει πριν ξεφορμάρουμε.

Σε ένα μπολ χτυπάμε το τυρί κρέμα με το βούτυρο με το μίξερ μέχρι να αναμειχθούνε καλά. Προσθέτουμε  τη ζάχαρη άχνη και τη βανίλια και συνεχίζουμε για άλλα 2 λεπτά το χτύπημα. Απλώνουμε την κρέμα πάνω από το κρύο κέικ και σερβίρουμε.