Προθερμαίνουμε το φούρνο στους 160°C-170°C. Σε ένα μπολ ανακατεύουμε τα αυγά με τη ζάχαρη με έναν αυγοδάρτη. Πολτοποιούμε στο μπλέντερ τις μπανάνες μαζί με το γάλα και ανακατεύουμε τον πολτό με το μείγμα των αυγών. Σε ένα άλλο μπολ ανακατεύουμε το αλεύρι μαζί με το μπέικιν πάουντερ και τη βρόμη και τα προσθέτουμε στο μείγμα ανακατεύοντας καλά.

Βουτυρώνουμε και αλευρώνουμε μια μακρόστενη φόρμα του κέικ με διαστάσεις 10×20 εκ. και αδειάζουμε μέσα το μείγμα. Πασπαλίζουμε την επιφάνεια με επιπλέον νιφάδες βρόμης. Ψήνουμε στον προθερμασμένο φούρνο για 60 λεπτά μέχρι να ροδίσει καλά ελέγχοντας πάντα με ένα μαχαίρι εάν έχει ψηθεί στο κέντρο, αν όχι ψήνουμε ακόμα λίγη ώρα. Ξεφορμάρουμε και το αφήνουμε να κρυώσει .